Normalverteilung

Normalverteilung , auch Gaußsche Verteilung genannt , die häufigste Verteilungsfunktion für unabhängige, zufällig generierte Variablen. Die bekannte glockenförmige Kurve ist in statistischen Berichten allgegenwärtig, von der Umfrageanalyse über die Qualitätskontrolle bis hin zur Ressourcenzuweisung.

Abbildung 1: Ein Balkendiagramm zeigt den Familienstand von 100 Personen.Lesen Sie mehr zu diesem Thema Statistik: Die Normalverteilung Die in der Statistik am häufigsten verwendete kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalwahrscheinlichkeitsverteilung. Die Grafik entspricht ...

Der Graph der Normalverteilung ist durch zwei Parameter gekennzeichnet: den Mittelwert oder Durchschnitt, der das Maximum des Graphen darstellt und um den der Graph immer symmetrisch ist; und die Standardabweichung, die das Ausmaß der Dispersion vom Mittelwert weg bestimmt. Eine kleine Standardabweichung (verglichen mit dem Mittelwert) erzeugt ein steiles Diagramm, während eine große Standardabweichung (wiederum verglichen mit dem Mittelwert) ein flaches Diagramm erzeugt. Siehe die Abbildung.

Normalverteilung

Die Normalverteilung wird durch die Normaldichtefunktion p ( x ) = e - ( x - μ) 2/2σ2 / σ Quadratwurzel von √ 2π erzeugt. In dieser Exponentialfunktion ist e die Konstante 2.71828…, der Mittelwert und σ die Standardabweichung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in einen bestimmten Wertebereich fällt, entspricht dem Anteil der Fläche, die unter dem Funktionsgraphen zwischen den angegebenen Werten und über dem x eingeschlossen ist-Achse. Da der als Normalisierungskoeffizient bekannte Nenner (σ Quadratwurzel von √ 2π) bewirkt, dass die vom Graphen eingeschlossene Gesamtfläche genau gleich Eins ist, können Wahrscheinlichkeiten direkt aus der entsprechenden Fläche erhalten werden - dh eine Fläche von 0,5 entspricht zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,5. Obwohl diese Bereiche mit Kalkül bestimmt werden können, wurden im 19. Jahrhundert Tabellen für den Sonderfall = 0 und σ = 1 erstellt, der als Standardnormalverteilung bekannt ist, und diese Tabellen können für jede Normalverteilung verwendet werden, nachdem die Variablen geeignet sind neu skaliert durch Subtrahieren ihres Mittelwerts und Dividieren durch ihre Standardabweichung ( x - μ) / σ. Taschenrechner haben die Verwendung solcher Tabellen inzwischen so gut wie ausgeschlossen. Für weitere Details siehe Wahrscheinlichkeitstheorie.

Der Begriff „Gaußsche Verteilung“ bezieht sich auf den deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der 1809 im Zusammenhang mit Untersuchungen astronomischer Beobachtungsfehler erstmals eine Zwei-Parameter-Exponentialfunktion entwickelte. Diese Studie veranlasste Gauß, sein Gesetz des Beobachtungsfehlers zu formulieren und die Theorie der Methode der Approximation der kleinsten Quadrate voranzutreiben. Eine andere berühmte frühe Anwendung der Normalverteilung war der britische Physiker James Clerk Maxwell, der 1859 sein Gesetz der Verteilung molekularer Geschwindigkeiten formulierte - später verallgemeinert als Maxwell-Boltzmann-Verteilungsgesetz.

Der französische Mathematiker Abraham de Moivre stellte in seiner Doctrine of Chances (1718) zunächst fest, dass Wahrscheinlichkeiten, die mit diskret erzeugten Zufallsvariablen verbunden sind (wie sie durch Werfen einer Münze oder Würfeln eines Würfels erhalten werden), durch die Fläche unter dem Diagramm von angenähert werden können eine Exponentialfunktion. Dieses Ergebnis wurde vom französischen Wissenschaftler Pierre-Simon Laplace in seiner Théorie analytique des probabilités erweitert und verallgemeinert(1812; "Analytic Theory of Probability") in den ersten zentralen Grenzwertsatz, der bewies, dass Wahrscheinlichkeiten für fast alle unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen schnell (mit Stichprobengröße) zu dem Bereich unter einer Exponentialfunktion konvergieren - das heißt zu eine Normalverteilung. Der zentrale Grenzwertsatz ermöglichte es, bisher unlösbare Probleme, insbesondere solche mit diskreten Variablen, mit Kalkül zu behandeln.

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