Formale Logik

Formale Logik , das abstrakte Studium von Sätzen, Aussagen oder durchsetzungsfähig verwendeten Sätzen und von deduktiven Argumenten. Die Disziplin abstrahiert vom Inhalt dieser Elemente die Strukturen oder logischen Formen, die sie verkörpern. Der Logiker verwendet üblicherweise eine symbolische Notation, um solche Strukturen klar und eindeutig auszudrücken und Manipulationen und Gültigkeitstests einfacher anzuwenden. Obwohl in der folgenden Diskussion die technische Notation der modernen symbolischen Logik frei verwendet wird, werden ihre Symbole schrittweise und mit begleitenden Erklärungen eingeführt, damit der ernsthafte und aufmerksame allgemeine Leser in der Lage sein sollte, die Entwicklung von Ideen zu verfolgen.

Formale Logik ist eine a priori und keine empirische Studie. In dieser Hinsicht steht es im Gegensatz zu den Naturwissenschaften und allen anderen Disziplinen, deren Daten von der Beobachtung abhängen. Die nächste Analogie ist die reine Mathematik; In der Tat würden viele Logiker und reine Mathematiker ihre jeweiligen Fächer als nicht unterscheidbar oder nur als zwei Stufen derselben einheitlichen Disziplin betrachten. Die formale Logik ist daher nicht mit der empirischen Untersuchung der zur Psychologie gehörenden Denkprozesse zu verwechseln. Es muss auch von der Kunst des korrekten Denkens unterschieden werden, die die praktische Fähigkeit ist, logische Prinzipien auf bestimmte Fälle anzuwenden; und noch schärfer muss es von der Kunst der Überzeugung unterschieden werden, bei der ungültige Argumente manchmal wirksamer sind als gültige.

Allgemeine Beobachtungen

Der wahrscheinlich natürlichste Ansatz zur formalen Logik ist die Idee der Gültigkeit eines Arguments, wie es als deduktiv bezeichnet wird. Ein deduktives Argument kann grob als eines charakterisiert werden, bei dem die Behauptung aufgestellt wird, dass ein Satz (die Schlussfolgerung) mit strikter Notwendigkeit aus einem anderen Satz oder anderen Sätzen (den Prämissen) folgt - dh dass es inkonsistent oder selbst widersprüchlich wäre, dies zu behaupten die Prämissen aber leugnen die Schlussfolgerung.

Wenn es einem deduktiven Argument gelingen soll, die Wahrheit seiner Schlussfolgerung festzustellen, müssen zwei ganz unterschiedliche Bedingungen erfüllt sein: Erstens muss die Schlussfolgerung wirklich aus den Prämissen folgen - dh der Abzug der Schlussfolgerung aus den Prämissen muss logisch korrekt sein - und Zweitens müssen die Prämissen selbst wahr sein. Ein Argument, das diese beiden Bedingungen erfüllt, heißt Ton. Von diesen beiden Zuständen befasst sich der Logiker als solcher nur mit dem ersten; Die zweite, die Feststellung der Wahrheit oder Falschheit der Prämissen, ist Aufgabe einer besonderen Disziplin oder einer gemeinsamen Beobachtung, die dem Gegenstand des Arguments angemessen ist. Wenn die Schlussfolgerung eines Arguments korrekt aus seinen Prämissen abgeleitet werden kann, gilt die Schlussfolgerung aus den Prämissen zur Schlussfolgerung als (deduktiv) gültig, unabhängig davon, ob die Prämissen wahr oder falsch sind.Andere Möglichkeiten, die Tatsache auszudrücken, dass eine Folgerung deduktiv gültig ist, sind zu sagen, dass die Wahrheit der Prämissen eine absolute Garantie für die Wahrheit der Schlussfolgerung gibt (oder geben würde) oder dass sie eine logische Inkonsistenz beinhalten würde (im Unterschied zu einer bloßen) Tatsachenfehler) anzunehmen, dass die Prämissen wahr waren, aber die Schlussfolgerung falsch.

Die deduktiven Schlussfolgerungen, mit denen sich die formale Logik befasst, sind, wie der Name schon sagt, diejenigen, deren Gültigkeit nicht von Merkmalen ihres Gegenstands abhängt, sondern von ihrer Form oder Struktur. Somit sind die beiden Schlussfolgerungen (1) Jeder Hund ist ein Säugetier. Einige Vierbeiner sind Hunde. ∴ Einige Vierbeiner sind Säugetiere. und (2) jeder Anarchist glaubt an freie Liebe. Einige Mitglieder der Regierungspartei sind Anarchisten. ∴ Einige Mitglieder der Regierungspartei glauben an freie Liebe. unterscheiden sich in der Thematik und erfordern daher unterschiedliche Verfahren, um die Wahrheit oder Falschheit ihrer Prämissen zu überprüfen. Aber ihre Gültigkeit gewährleistet durch das, was sie gemeinsam haben, nämlich , dass das Argument in jeder Form (3) Jedes X ist ein Y . Einige Z sind X.'s. ∴ Einige Zs sind Ys .

Die obige Zeile (3) kann als Inferenzform bezeichnet werden, und (1) und (2) sind dann Instanzen dieser Inferenzform. Die Buchstaben X , Y und Z in (3) markieren die Stellen, an denen Ausdrücke eines bestimmten Typs eingefügt werden können. Zu diesem Zweck verwendete Symbole werden als Variablen bezeichnet. ihre Verwendung ist analog zu der des xin der Algebra, die die Stelle markiert, an der eine Ziffer eingefügt werden kann. Eine Instanz einer Inferenzform wird erzeugt, indem alle darin enthaltenen Variablen durch geeignete Ausdrücke (dh solche, die im Kontext sinnvoll sind) ersetzt werden und dies einheitlich (dh durch Ersetzen desselben Ausdrucks überall dort, wo dieselbe Variable erneut auftritt). Das Merkmal von (3), das garantiert, dass jede Instanz davon gültig ist, ist seine Konstruktion in einer Weise, dass jede einheitliche Art, seine Variablen zu ersetzen, um die Prämissen wahr zu machen, automatisch die Schlussfolgerung auch wahr macht, oder mit anderen Worten, dass Keine Instanz davon kann wahre Prämissen haben, sondern eine falsche Schlussfolgerung. Aufgrund dieses Merkmals wird die Form (3) als gültige Inferenzform bezeichnet. Im Gegensatz dazu, (4) Jeder X ist ein Y . Einige Z.'s sind Y ' s. ∴ Some Z ‚s X ‚s. ist keine gültige Folgerungsform, denn obwohl Instanzen davon erzeugt werden können, in denen Prämissen und Schlussfolgerungen alle wahr sind, können Instanzen davon auch erzeugt werden, in denen die Prämissen wahr sind, aber die Schlussfolgerung falsch ist - z. B. (5) Jeder Hund ist ein Säugetier. Einige geflügelte Kreaturen sind Säugetiere. ∴ Einige geflügelte Kreaturen sind Hunde.

Die formale Logik als Studie befasst sich eher mit Inferenzformen als mit bestimmten Fällen. Eine seiner Aufgaben besteht darin, zwischen gültigen und ungültigen Inferenzformen zu unterscheiden und die Beziehungen zwischen gültigen zu untersuchen und zu systematisieren.

Eng verwandt mit der Idee einer gültigen Inferenzform ist die einer gültigen Satzform. Eine Satzform ist ein Ausdruck, bei dem die Instanzen (die wie zuvor durch geeignete und einheitliche Ersetzungen von Variablen erzeugt wurden) keine Schlussfolgerungen aus mehreren Sätzen zu einer Schlussfolgerung sind, sondern Sätze, die einzeln genommen werden, und eine gültige Satzform ist eine, für die alle Instanzen gelten sind wahre Sätze. Ein einfaches Beispiel ist (6) Nichts ist sowohl ein X als auch ein Nicht- X. Die formale Logik befasst sich sowohl mit Satzformen als auch mit Inferenzformen. Die Untersuchung von Satzformen kann tatsächlich so erfolgen, dass sie die von Inferenzformen auf folgende Weise einschließt: Lassen Sie die Prämissen einer gegebenen Inferenzform (zusammengenommen) durch Alpha (α) und ihre Schlussfolgerung durch Beta (β) abkürzen. . Dann läuft die oben angegebene Bedingung für die Gültigkeit der Inferenzform "α, daher β" darauf hinaus, dass keine Instanz der Satzform "α und nicht-β" wahr ist - dh dass jede Instanz der Satzform (7) Nicht beides: α und nicht-β sind wahr - oder diese Zeile (7), die natürlich vollständig geschrieben ist, ist eine gültige Satzform. Das Studium von Satzformen kann jedoch unter dem Studium von Inferenzformen nicht in ähnlicher Weise berücksichtigt werden,Aus Gründen der Vollständigkeit ist es daher üblich, formale Logik als das Studium von Satzformen zu betrachten. Da der Umgang eines Logikers mit Satzformen in vielerlei Hinsicht dem Umgang eines Mathematikers mit numerischen Formeln entspricht, werden die von ihm konstruierten Systeme häufig als Kalküle bezeichnet.

Ein Großteil der Arbeit eines Logikers verläuft abstrakter als die der vorangegangenen Diskussion. Sogar eine Formel wie (3) oben enthält, obwohl sie sich nicht auf einen bestimmten Gegenstand bezieht, Ausdrücke wie "jeder" und "ist ein", von denen angenommen wird, dass sie eine bestimmte Bedeutung haben, und die Variablen sollen die Orte markieren für Ausdrücke einer bestimmten Art (ungefähr gebräuchliche Substantive oder Klassennamen). Es ist jedoch möglich - und für einige Zwecke ist es wichtig -, Formeln zu studieren, ohne ihnen auch nur diesen Grad an Aussagekraft zuzuweisen. Die Konstruktion eines Logiksystems beinhaltet in der Tat zwei unterscheidbare Prozesse: Einer besteht darin, einen symbolischen Apparat einzurichten - einen Satz von Symbolen, Regeln zum Aneinanderreihen dieser zu Formeln und Regeln zum Manipulieren dieser Formeln;Die zweite besteht darin, diesen Symbolen und Formeln bestimmte Bedeutungen zuzuweisen. Wenn nur das erstere getan wird, wird das System als nicht interpretiert oder rein formal bezeichnet; Wenn letzteres ebenfalls getan wird, wird das System als interpretiert bezeichnet. Diese Unterscheidung ist wichtig, da sich herausstellt, dass logische Systeme bestimmte Eigenschaften völlig unabhängig von etwaigen Interpretationen aufweisen. Ein axiomatisches System der Logik kann als Beispiel genommen werden, dh ein System, in dem bestimmte unbewiesene Formeln, sogenannte Axiome, als Ausgangspunkte genommen werden und weitere Formeln (Theoreme) auf deren Stärke bewiesen werden. Wie später erscheinen wird (weil sich herausstellt, dass logische Systeme bestimmte Eigenschaften haben, ganz unabhängig von Interpretationen, die auf sie gelegt werden können. Ein axiomatisches System der Logik kann als Beispiel genommen werden, dh ein System, in dem bestimmte unbewiesene Formeln, sogenannte Axiome, als Ausgangspunkte genommen werden und weitere Formeln (Theoreme) auf deren Stärke bewiesen werden. Wie später erscheinen wird (weil sich herausstellt, dass logische Systeme bestimmte Eigenschaften haben, ganz unabhängig von Interpretationen, die auf sie gelegt werden können. Ein axiomatisches System der Logik kann als Beispiel genommen werden, dh ein System, in dem bestimmte unbewiesene Formeln, sogenannte Axiome, als Ausgangspunkte genommen werden und weitere Formeln (Theoreme) auf deren Stärke bewiesen werden. Wie später erscheinen wird (siehe untenAxiomatisierung von PC), die Frage, ob eine Folge von Formeln in einem axiomatischen System ein Beweis ist oder nicht, hängt allein davon ab, welche Formeln als Axiome verwendet werden und welche Regeln für die Ableitung von Theoremen aus Axiomen gelten, und überhaupt nicht von welchen Theoremen oder Axiome bedeuten. Darüber hinaus kann ein gegebenes nicht interpretiertes System im Allgemeinen auf verschiedene Arten gleich gut interpretiert werden; Wenn man also ein nicht interpretiertes System untersucht, untersucht man die Struktur, die einer Vielzahl von interpretierten Systemen gemeinsam ist. Normalerweise hat ein Logiker, der ein rein formales System konstruiert, eine bestimmte Interpretation im Sinn, und sein Motiv für die Konstruktion ist die Überzeugung, dass die Formeln des Systems, wenn diese Interpretation gegeben wird, in einem bestimmten Bereich wahre Prinzipien ausdrücken können des Denkens; aber unter anderem aus den oben genannten GründenIn der Regel wird er darauf achten, die Formeln zu beschreiben und die Regeln des Systems ohne Bezugnahme auf die Interpretation anzugeben und die von ihm beabsichtigte Interpretation als separate Angelegenheit anzugeben.

Viele der Ideen, die bei der Darstellung der formalen Logik verwendet werden, einschließlich einiger der oben genannten, werfen Probleme auf, die eher zur Philosophie als zur Logik selbst gehören. Beispiele sind: Was ist die richtige Analyse des Wahrheitsbegriffs? Was ist ein Satz und in welcher Beziehung steht er zu dem Satz, durch den er ausgedrückt wird? Gibt es fundierte Argumente, die weder deduktiv noch induktiv sind? Glücklicherweise ist es möglich zu lernen, formale Logik zu machen, ohne zufriedenstellende Antworten auf solche Fragen zu haben, genauso wie es möglich ist, Mathematik zu machen, ohne Fragen zu beantworten, die zur Philosophie der Mathematik gehören, wie: Sind Zahlen echte Objekte oder mentale Konstrukte?